こんにちは、なおしー(@naoc2520) です！
野球がお好きな方なら一度は聞かれたことがあると思います「日本シリーズ何勝何敗でどっちが勝つと思う？」という質問。
野球解説者の方もテレビでよく答えていますよね。
今日はこの質問に対する妥当な回答をセンター数学の知識を使って考えたいきたいと思います。
準備
まずは日本シリーズのルールを紹介します。
２つの野球チーム A, B が試合を７回行い、先に４勝したほうを優勝とする。
ただし、どちらかのチームが４勝に達した時点で残りの試合は行わない。
簡単に文章にするとこういうことですね。
このルールから考えると日本シリーズの終わり方には
- ４勝０敗
- ４勝１敗
- ４勝２敗
- ４勝３敗
の４パターンがあります。
この４パターンのうち、どの結果になる確率が一番高いのでしょうか？
それではここからは数学の時間、Aが勝つ確率を p として話をすすめて行きたいと思います。
A, B の実力が五分(p =1/2)の場合
はじめに A, B の実力が五分、つまりAが勝つ確率 p = 1/2 の場合を考えてみましょう。
４勝０敗で終わる場合
これは４連勝する場合しかありません。
つまり1/2の確率が４回連続で起こるということです。
A が４連勝する場合を考えると
(1/2)^4 = 1/16
となります。（^4は4乗の意味）
一方今はBが勝つ確率も 1/2 なので、同様にBが４連勝する確率も 1/16 になります。
つまり４勝０敗で終わる確率は
1/16 + 1/16 =1/8 (=0.125)
ということになります。
４勝１敗で終わる場合
次は４勝１敗で終わる場合です。
まずはAが４勝１敗で優勝する場合を考えます。
Aが優勝して終わるので、最終戦（第５戦）はAが勝つことになります。
第４戦が終わった時点ではAの３勝１敗となって、第５戦でAが勝つという寸法です。
では、第１戦から第４戦の星取りが何通りあるかを数えましょう。
これは
A A A B
A A B A
A B A A
B A A A
の４通りがあります。
今はAが勝つ確率もBが勝つ確率も1/2なので上の４通りになる確率はいずれも
(1/2)^4=1/16
です。
つまり1/16 が４通りなのでAが３勝１敗で第５戦を迎える確率は
4×1/16 = 1/4
となります。
さいごに第５戦でAが勝つ確率をかけると、Aが４勝１敗で優勝する確率は
1/4 × 1/2 = 1/8
となります。
ここまでくれば B が４勝１敗で優勝する場合も同様なので 1/8
つまり４勝１敗で終わる確率は
1/8 + 1/8 = 1/4 (=0.25)
ということになります。
４勝２敗で終わる場合
続いて４勝２敗で終わる場合。
これもAが優勝する場合を考えて、基本的には４勝１敗と同じ流れで求めます。
第６戦はAが勝つのでそれまでの第１戦から第５戦までの星取りが何通りあるかですね！
先ほどのように全て羅列してもいいですが、ここでセンター数学で必要な知識を使いましょう。
第５戦までの星取りのパターンはAを3個とBを2個をランダムに並べた時の並び方のパターンに一致します。
これは同じものを含む順列の考え方です。
こういう記号を使って計算したことがあると思います。
この計算結果は１０になります。
さらにこの１０通りになる確率はいずれも
(1/2)^5=1/32
であり、第５戦までをAが３勝２敗で終える確率は
10 × 1/32 = 5/16
となります。
最後の第６戦でAが勝つ確率をかけると、４勝２敗でAが優勝する確率は
5/16 × 1/2 =5/32
となります。
Bが４勝２敗で優勝する確率も同様に5/32なので、
４勝２敗で終わる確率は
5/32 + 5/32 =5/16（=0.3125）
となります。
４勝３敗で終わる場合
長くなっていますが、最後に４勝３敗の場合です。
これも同様にAが優勝する場合を考えましょう。
さらに、同じものを含む順列の考え方も使います。
第６戦までにA, Bがそれぞれ３勝ずつですから、Aを3個とBを3個ランダムに並べて数えましょう。
この並べ替えの数は
を計算して２０通りとなります。
さらにこの２０通りになる確率はいずれも
(1/2)^6 = 1/64
であり、第６戦までをAが３勝３敗で終える確率は
20 × 1/64 = 5/16
となります。
最後の第7戦でAが勝つ確率をかけると、Aが４勝３敗で優勝する確率は
5/16 × 1/2 = 5/32
となります。
Bが４勝３敗で優勝する確率も同様に5/32なので、
４勝３敗で終わる確率は
5/32 + 5/32 =5/16（=0.3125）
となります。
まとめ
以上をまとめると次のようになります。
４勝０敗 1/8 (=0.125)
４勝１敗 1/4 (=0.25)
４勝２敗 5/16(=0.3125)
４勝３敗 5/16(=0.3125)
ということで、AとBの勝つ確率が同じ場合は４勝２敗か４勝３敗になる確率が最も高いということになります。
Aの方がちょっと勝つ確率が高かった場合(p=3/5)
ここからはちょっと発展系。
先ほどは実力伯仲の場合を考えましたが、そうではなかった場合どうなるのかを考えたいと思います。
Aが勝つ確率をちょっと高めて 60% つまり p=3/5 にしてみます。
計算は基本的に p=1/2 の場合と同じですが、AとBの勝つ確率が異なる（Bは40％）ので「同様に～」のところが使えないので注意が必要です。
ここは結果だけ紹介したいと思います。
４勝０敗 97/625 (=0.155…）
４勝１敗 168/625 (=0.2688）
４勝２敗 936/3125（=0.2995…）
４勝３敗 864/3125（=0.276…）
となります。
つまり、Aの方がちょっと勝つ確率が高かった場合は４勝２敗で終わる確率が最も高いということになります。
p が変わるとどうなるか？
とりあえず A の勝つ確率が 50％ と 60％ の場合についてやりましたが、他の確率の場合はどうなるのでしょうか？
Aの勝つ確率がどの程度高くなれば４勝１敗で終わる確率が最も高くなるのでしょうか？
このようなことを調べる場合はグラフを書いてみるのが一番です。
確率を p のままにして式を立ててみると
４勝０敗で終わる確率は p^4 + (1-p)^4
４勝１敗で終わる確率は 4{p^4(1-p)+(1-p)^4p}
４勝２敗で終わる確率は 10{p^4(1-p)^2+(1-p)^4p^2}
４勝３敗で終わる確率は 20{p^4(1-p)^3+(1-p)^4p^3}
となり、これでグラフを書いてみると次のようになります。
横軸が x のままなのは無視してください。
p=1/2 で対称になるのは当然ですね。
こうやって見ると、p=1/2 の付近では４勝２敗の確率が高いですね。
また、４勝３敗の確率が最も高くなるのは p=1/2 のときのみというのもわかりました。
そして、４勝１敗で終わる確率が最も高くなるのは p=0.65 付近からということもわかります。
これを踏まえると最も無難に正解できそうな答えは４勝２敗ということになるでしょう。
実際の戦績では？
それでは数学のお話ではなく実際の戦績を見てみましょう。
こちらのサイトの結果から集計しました。
２０１６年まで過去６６回行われた日本シリーズの星取り結果を集計して見た結果は以下のとおりです。
４勝０敗 ７回
４勝１敗 １６回
４勝２敗 ２２回
４勝３敗 ２１回
ということで、実際の結果でも４勝２敗で終わった回数が最も多いということでした。
まとめ
計算結果と過去の戦績の両方で４勝２敗と答えるのが最も当たる確率が高いようです。
センター数学と言っておきながら高校数学の知識は導入くらいしか使いませんでしたね。
現役の高校生にはこれくらいすんなりといてほしいと思います。
ちなみにどちらが勝つかはこんな簡単な計算では求まりません。
とりあえず４勝２敗と言っておいて、結果か出たら星取りだけは当たったでしょと言っておきましょう。
もっと確率を上げるとなれば「接戦になると思うから４勝３敗か４勝２敗かな」と言っておけば計算上６割５分近くの確率で当たることになります。
第２弾、第３弾はこちらです！
